Domina el mínimo común múltiplo (m.c.m)

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Conceptos

¿Cómo dominar el mínimo común múltiplo?
Para dominar este tema, debes tener los siguientes conocimientos y habilidades:

-Concepto de múltiplo.

-Concepto de múltiplos comunes.

-Descomponer un número por medio de sus factores primos.

-Comparar potencias que tienen la misma base.

-Expresar una multiplicación (con factores repetidos) como potencia.
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¿Qué es el mínimo común múltiplo?
Si se forma una lista de múltiplos de un número dado y la de múltiplos de otro número, siempre habrá números que aparecerán en ambas listas. Estos números que coinciden son los múltiplos comunes.

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números, es el menor de sus múltiplos comunes que sea distinto de cero.

En este ejemplo se creó un listado de múltiplos de los números 4 y 5. Los números que aparecen en ambas listas (múltiplos comunes) son el 20 y 40. Podemos extender la lista para encontrar más números que coincidan dado que los múltiplos de un número son infinitos, sin embargo lo que nos interesa es saber cuál de todos ellos es el menor. Por lo tanto el mínimo común múltiplo de los números 4 y 5 es el numero 20.
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¿Cómo calcular el m.c.m por descomposición en factores primos?
Para calcular el mínimo común múltiplo por este método, debemos realizar lo siguiente:

-Descomponer cada número en sus factores primos y simplificar el resultado por medio de la potenciación.

-Seleccionar todos aquellos factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

-Se realiza la multiplicación de dichos factores primos y se obtiene el resultado.

En este ejemplo, descomponemos en sus factores primos a los números 90 y 120. El resultado, se simplifica en forma de potencia en las multiplicaciones donde se repita un factor:

90 = 2 x 32 x 5
120 = 23 x 3 x 5

Identificamos todos aquellos factores comunes y no comunes sin tomar en cuenta el valor de su exponente:

2, 3, 5

Por cada uno de los factores, elegimos aquel que tenga el mayor de los exponentes, recordando que si un factor no tiene un exponente, el valor de su exponente es igual a 1:

23 , 32 , 5

Por último realizamos la multiplicación de los factores primos del paso anterior y asi obtenemos el m.c.m de los números 90 y 120.

23 = 8
32 = 9

m.c.m = 8x9x5 = 360
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¿Cómo calcular el m.c.m por el método abreviado?
Para calcular el mínimo común múltiplo por este método, debemos realizar lo siguiente:

-Descomponer en factores primos de forma simultánea los números dados, de modo que solo tengamos una sola casilla de operación.

-Se realiza la multiplicación de todos los factores primos obtenidos, y se escribe como resultado.

-Como paso opcional se puede simplificar el producto de los factores primos, por medio de la potenciación.

Nota

El proceso para descomponer en factores primos dos o más números en forma simultánea, es similar que cuando se hace con un solo número, en este ejemplo tenemos lo siguiente:

Comenzamos con el número 2 para probar si por lo menos uno de los números (90 y 120) es divisible entre este número primo:

90 ÷ 2 = 45
120 ÷ 2 = 60

Los cocientes obtenidos se escriben respectivamente debajo de cada número.

Volvemos a utilizar el 2 para dividir los cocientes obtenidos (45 y 60):

45 ÷ 2 = división inexacta
60 ÷ 2 = 30

Como se obtuvo por lo menos una división exacta, escribimos el cociente obtenido debajo del número correspondiente (60) y el número en el cual se obtuvo una división inexacta (45) se baja el mismo número. Cuando al realizar las divisiones no se obtiene alguna división exacta, se procede a dividir con el siguiente numero primo, y así sucesivamente hasta que nos dé por lo menos una división exacta.

Este mismo proceso se repite hasta que se obtengan como cociente para cada número, un 1.

Ejemplo

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Instrucciones
Calcula el mínimo común múltiplo de 28 y 36
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Paso 1.
Descomponer los números 28 y 36 en sus respectivos factores primos.
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Paso 2.
Determinar cuáles son los factores primos comunes y no comunes. En este caso serian el 2 (factor común) el 3 y el 7 (factores no comunes).
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Paso 3.
De los factores comunes y no comunes, elegir los que tengan mayor exponente. En este caso serian:

22 , 32 y 7.

Por último multiplicar dichos factores y así obtener el mínimo común múltiplo.

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