Domina los divisores comunes

Tutorial

¿Qué son los divisores comunes?
Los divisores comunes son aquellos números que dividen en forma exacta a dos o más números.

Por ejemplo, tenemos los divisores de los números 48 y 72.

Divisores del numero 48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Divisores del numero 72

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Los divisores comunes, son los que aparecen en ambos listados, por lo tanto los divisores comunes de los números 48 y 72 son:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
¿Cuántos divisores comunes pueden tener un conjunto de números?
Dos o más números pueden tener uno o más divisores en común, dependiendo si el conjunto de números son primos relativos o primos entre sí. Por ejemplo: 7, 12 y 15 son primos entre si ya que no tienen más divisor común que el numero 1.

Por el contrario, los números 48 y 72 no son primos entre sí, por tanto los divisores comunes son:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
¿Cómo obtener los divisores comunes de varios números?
Matematicas tutoriales ejercicios calculadora y ejemplos
Para obtener los divisores comunes de varios números (en este ejemplo para 60 y 90) se procede a realizar lo siguiente:

-Se obtiene el máximo común divisor de dichos números. En este caso el mcd de 60 y 90 es igual a 30.

-Se descompone el número obtenido del mcd en factores primos. En este caso descomponemos al número 30 en sus factores primos:

30=21x31x51

-Se crea una tabla para obtener todas las potencias sucesivas de los factores primos que obtuvimos en el paso anterior. Esta tabla estará compuesta de dos columnas:

La primera columna contendrá todos los factores primos (con sus respectivos exponentes).

21
31
51

La segunda columna contendrá las potencias sucesivas de dichos factores.
En la primer fila o renglón de la segunda columna deberemos escribir siempre el numero 1 y después las potencias sucesivas del primer factor correspondiente.

21 [1, 2]
31 [3]
51 [5]

*El valor del exponente nos servirá para saber hasta que potencia debemos generar, por ejemplo si tuviéramos en un renglón 53 deberemos generar los siguientes números:

53 [5, 25, 125]

Ya que estos valores corresponden a:

53 [51, 52, 53]

-Por último se realiza una serie de multiplicaciones en forma escalonada o piramidal. Se retoman los valores de la tabla anterior, para ir multiplicando cada uno de los valores del segundo renglón con todos los valores del primer renglón. Luego los valores tercer renglón los multiplicamos con los del primero y con los del segundo, y así sucesivamente hasta terminar con el último renglón o fila de la tabla anterior.

En este caso procedemos a realizar las multiplicaciones de la siguiente manera:

Multiplicamos el renglón 2 con el renglón 1. Los resultados que se obtengan constituirán el segundo renglón para la siguiente multiplicación.

3 x [1, 2]

[3, 6]

Multiplicamos el renglón 3 con el renglón 1 y 2. Los resultados que se obtengan constituirán el tercer renglón.

5 x [1, 2]
5 x [3, 6]

[5, 10, 15, 30]

Los divisores comunes de los números 60 y 90 son en total 8:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Todos estos divisores corresponden a los valores del primer, segundo y tercer renglón.

Este último paso se puede realizar en forma de tabla, solo debes observar cómo se acomodan los números para ir multiplicando e ir anotando los resultados.

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