Divisores simples y compuestos

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¿Qué es un divisor?
Ejercicios calculadora y ejemplos
El divisor de un número es aquel número que está contenido en el primero, un número exacto de veces.
En este contexto el divisor es el numero que divide a otro en forma exacta, por ejemplo 5 es divisor del número 30 ya que está contenido en este 6 veces.
¿Qué es un submúltiplo?
Es otra forma común de llamar a un divisor.
¿Cuántos divisores puede tener un número compuesto?
A diferencia de los múltiplos, los divisores de un número son finitos, es decir un número compuesto tiene una cantidad finita de divisores, donde el primer divisor siempre será el 1 y el último divisor siempre será el mismo número compuesto.

Ejercicios calculadora y ejemplos
En este ejemplo el numero 30 posee 8 divisores donde el primero es el 1 y el ultimo es el 30.
¿Cuáles son los divisores simples y compuestos?
Los divisores simples son aquellos números primos (que tienen solo 2 divisores el 1 y si mismos) que dividen en forma exacta al número compuesto.

Los divisores compuestos son el resto de los divisores que no son números primos.

Ejercicios calculadora y ejemplos
En este ejemplo los divisores simples serian el 1, 2, 3 y 5 mientras que los divisores compuestos serian el 6, 10, 15 y 30.
Aunque el uno no es un número primo ni tampoco un número compuesto, entra en la lista de divisores simples.
¿Cómo calcular el total de divisores de un número compuesto?
Ejercicios calculadora y ejemplos
Cuando solo se requiere calcular el total de divisores que tiene un determinado número compuesto, debes realizar lo siguiente:

-Descomponer el número en sus respectivos factores primos. En este caso descomponemos al número 30 en sus factores primos dándonos como resultado:

30=2x3x5

-Sumar una unidad a cada exponente de los factores primos (si un número no tiene exponente, se considera el valor del exponente como 1). Como en este caso los factores primos del 30 no tienen exponente, se considera que cada numero tiene exponente igual a 1 por lo tanto le sumamos una unidad a cada exponente.

30=21x31x51

(1+1) = (2)

(1+1) = (2)

(1+1) = (2)

-Multiplicar los valores del paso anterior para así obtener el total de divisores. En este ejemplo el numero 30 tiene en total 8 divisores.

2x2x2 = 8
¿Cómo se obtienen todos los divisores (simples y compuestos) de un número?
Ejercicios calculadora y ejemplos
Para obtener los divisores de un número, se procede a realizar lo siguiente:

-Se descompone el número en factores primos. En este caso descomponemos al número 30 en sus factores primos:

30=21x31x51

-Se crea una tabla para obtener todas las potencias sucesivas de los factores primos que obtuvimos en el paso anterior. Esta tabla estará compuesta de dos columnas:

La primera columna contendrá todos los factores primos (con sus respectivos exponentes).

21
31
51

La segunda columna contendrá las potencias sucesivas de dichos factores.
En la primer fila o renglón de la segunda columna deberemos escribir siempre el numero 1 y después las potencias sucesivas del primer factor correspondiente.

21 [1, 2]
31 [3]
51 [5]

*El valor del exponente nos servirá para saber hasta que potencia debemos generar, por ejemplo si tuviéramos en un renglón 53 deberemos generar los siguientes números:

53 [5, 25, 125]

Ya que estos valores corresponden a:

53 [51, 52, 53]

-Por último se realiza una serie de multiplicaciones en forma escalonada o piramidal. Se retoman los valores de la tabla anterior, para ir multiplicando cada uno de los valores del segundo renglón con todos los valores del primer renglón. Luego los valores tercer renglón los multiplicamos con los del primero y con los del segundo, y así sucesivamente hasta terminar con el último renglón o fila de la tabla anterior.

En este caso procedemos a realizar las multiplicaciones de la siguiente manera:

Multiplicamos el renglón 2 con el renglón 1. Los resultados que se obtengan constituirán el segundo renglón para la siguiente multiplicación.

3 x [1, 2]

[3, 6]

Multiplicamos el renglón 3 con el renglón 1 y 2. Los resultados que se obtengan constituirán el tercer renglón.

5 x [1, 2]
5 x [3, 6]

[5, 10, 15, 30]

Los divisores del número 30 son en total 8:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Todos estos divisores corresponden a los valores del primer, segundo y tercer renglón.

Este último paso se puede realizar en forma de tabla, solo debes observar cómo se acomodan los números para ir multiplicando e ir anotando los resultados.

Ejemplo

Instrucciones
Ejercicios calculadora y ejemplos
Calcula todos los divisores simples y compuestos del numero 45.
Paso 1
Ejercicios calculadora y ejemplos
Procedemos a descomponer el número 45 en sus factores primos.
Paso 2
Ejercicios calculadora y ejemplos
Calculamos cuantos divisores tiene el numero 45. Para ello primero escribimos a todos los factores primos que no tienen un exponente, el numero 1. En este caso el numero 5 no tiene exponente por lo tanto escribimos el numero 1 para recordar el valor de su exponente.

Después al valor de cada exponente le sumamos una unidad y luego multiplicamos dichos valores para así obtener el total de divisores. Este paso nos servirá para verificar que obtengamos la misma cantidad de divisores en los pasos posteriores.
Paso 3
Ejercicios calculadora y ejemplos
Dibujamos una tabla como la que se muestra en la ilustración. En la primera columna escribiremos todos los factores primos obtenidos (con su respectivo exponente en caso de tenerlo). Por lo tanto en la primer columna escribimos el 32 y debajo el 5.

Luego en la segunda columna primer renglón escribimos el 1.
Paso 4
Ejercicios calculadora y ejemplos
Procedemos a obtener las potencias sucesivas de cada número de la primera columna. En este caso obtenemos las potencias sucesivas de 32 para ello realizamos las siguientes operaciones:

31 = 3
32 = 9

Repetimos el mismo proceso ahora con el siguiente factor primo:

51 = 5
Paso 5
Ejercicios calculadora y ejemplos
Dibujamos una tabla como la que se muestra en la ilustración y la llenamos con los siguientes datos:

En el primer renglón escribimos el signo de multiplicación y los valores obtenidos en el primer renglón de la segunda columna de la tabla anterior. Por tanto deberemos escribir los valores 1, 3 y 9.

A partir del segundo renglón, en la primera columna escribimos todas las potencias sucesivas obtenidas (a partir del segundo renglón) de la tabla anterior. Por tanto escribimos el 5 y dibujamos una línea debajo para ir separando los datos que correspondan a cada renglón de la tabla anterior.
Paso 6
Ejercicios calculadora y ejemplos
Procedemos a multiplicar los valores renglón por renglón. En este caso realizamos las siguientes operaciones y anotamos los resultados en la tabla, tal y como se muestra en la ilustración.

5x1 = 5
5x3 = 15
5x9 = 45
Paso 7
Ejercicios calculadora y ejemplos
Ordenamos de menor a mayor los números obtenidos de la tabla anterior (segunda columna) para así obtener todos los divisores correspondientes al numero 45.

Retomamos el resultado del paso 2 para verificar que hemos obtenido en este caso un total de 6 divisores.

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