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La jerarquía de operaciones básicamente establece el orden en que deben irse resolviendo las operaciones contenidas en una expresión matemática.

Esto ocurre cuando en una expresión podemos tener diferentes combinaciones de operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc. Cada operación tiene un rango, jerarquía u orden de importancia, por tal se comienza a resolver las operaciones de mayor a menor jerarquía.
Por ejemplo en la expresión:

3+5x4

Debemos resolver primero las operaciones de mayor jerarquía, que en este caso sería 5x4. El resultado obtenido se sustituye en la expresión, para así proseguir con las operaciones del siguiente nivel jerárquico.

3+20

El resultado para este ejemplo es igual a 23.

Si no respetamos el orden en que se deben resolver dichas operaciones, obtendríamos como resultado 32. Aunque las operaciones estén correctas, el resultado es incorrecto pues el orden no es el que se debe de seguir.

Cuando en una expresión matemática tenemos operaciones combinadas, debemos resolver las operaciones de acuerdo a su jerarquía en forma escalonada.

La jerarquía de operaciones es la siguiente:
Primer nivel: Operaciones con potencias y raíz cuadrada.

Si una expresión contiene alguna potencia o raíz cuadrada, esta debe resolverse primero y el resultado sustituirse dentro de la expresión.

Segundo nivel: Operaciones con multiplicaciones y divisiones.

Si una expresión contiene alguna multiplicación o división, estas deben resolverse antes de proseguir a realizar otras operaciones de inferiores jerarquías.

Tercer nivel: Operaciones con sumas y restas.

Si una expresión contiene alguna suma o resta, se resuelven todas estas operaciones y con ello se obtiene el resultado. Estas operaciones corresponden al último nivel de jerarquía por tanto si una expresión contiene una combinación de distintas jerarquías, las sumas y restas será lo último que haya que resolverse.

Si se pasa por alto la jerarquía de operaciones, y se intenta resolver una expresión que contiene operaciones con distintos niveles jerárquicos, lo que se obtendrá es un error en el resultado, ya que no se respeto el orden en que deben resolverse las operaciones.

Cuando en una expresión tenemos una o más potencias o raíz cuadrada, debemos resolver estas operaciones comenzando de izquierda a derecha, el resultado de cada operación se va sustituyendo en la expresión, para así eliminar dichas operaciones y solo dejar un número (que corresponde al resultado).

Después se prosigue a resolver todas las operaciones del segundo nivel de jerarquía (multiplicaciones y divisiones) y por ultimo (sumas y restas).

Cuando una expresión solo contiene operaciones del segundo nivel jerárquico, es decir multiplicaciones y divisiones, se procede a resolver cada una de estas operaciones tal y como aparecen de izquierda a derecha.
Recuerda que por cada operación resuelta, se escribe el resultado en una nueva expresión, repitiendo este proceso hasta terminar con todas las operaciones.

Las sumas y restas representan la última jerarquía de operaciones. Cuando en una expresión solo tenemos sumas o restas, debemos proceder a resolver cada una de estas operaciones comenzando de izquierda a derecha.

Cuando una expresión contiene una combinación de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc. Debemos resolver dichas operaciones empezando por el orden de jerarquía más alto y después resolver todas las operaciones del siguiente nivel inferior de jerarquía. Este proceso finaliza hasta concluir con todas las operaciones de dicha expresión.